直接数字频率合成器（DDS, Direct Digital Synthesizer）作为现代数字信号处理和通信系统中频率合成的重要手段，因其频率分辨率高、相位连续性好、切换速度快等优势，广泛应用于通信、雷达、仪器仪表和音频信号生成等领域。在DDS系统设计中，相位截断是一个核心概念，它在提升系统效率的同时，也引入了量化误差和杂散信号。本文将全面介绍相位截断的原理、原因、影响及优化方法，帮助工程师更科学地设计DDS系统。

二、DDS的基本结构与工作原理

2.1 DDS系统基本组成

一个典型的DDS系统主要包括以下几个部分：

• 相位累加器（Phase Accumulator）：每个时钟周期向前累加一个固定步长，形成线性递增的相位数据。

• 相位截断器（Phase Truncator）：对相位累加器的高位进行截断，用于查表。

• 波形查找表（Look-Up Table, LUT）：将相位信息映射为幅值，如正弦波值。

• 数模转换器（DAC）：将数字波形转换为模拟信号。

• 低通滤波器：滤除DAC输出中的高频杂波。

2.2 DDS输出频率计算公式

DDS输出频率由下式给出：

$$f_{\text{out}} = \frac{\Delta f \cdot f_{\text{clk}}}{2^N}$$fout=2NΔf⋅fclk

其中：

• $\Delta f$Δf：频率控制字（FCW）

• $f_{\text{clk}}$fclk：系统时钟频率

• $N$N：相位累加器位数

三、相位截断的原理与动因

3.1 为什么需要相位截断

DDS中相位累加器通常具有较高的位宽（如32位或48位），以获得高频率分辨率。但波形查找表（LUT）不能无限扩大，否则会导致存储开销急剧增加。例如，32位相位累加器对应的查找表需$2^{32}$232个采样点，这在硬件上是不现实的。

为此，DDS系统只截取相位累加器的高M位（如10~14位）作为查表地址，舍弃低位。这个过程就是相位截断（Phase Truncation）。

3.2 相位截断示意

假设相位累加器为32位，只使用高12位查表，则有：

• 总相位空间：$2^{32}$232

• 实际查表空间：$2^{12} = 4096$212=4096

每次输出信号的采样值，实际上只参考高12位，低20位被丢弃。

四、相位截断带来的影响

4.1 杂散信号（Spurious Components）

由于截断相位信息，相位误差被周期性引入输出信号，形成杂散频率成分（Spurs）。这些杂散信号不是噪声，而是具有确定频率的误差项，表现为频谱中的细小尖峰。

杂散主要集中在：

• 基波附近

• 时钟频率附近

• 基波整数倍频率位置

4.2 失真和SFDR降低

相位截断直接影响系统的杂散自由动态范围（SFDR, Spurious-Free Dynamic Range）。SFDR是指输出信号主波和最大杂散波之间的幅度差，单位为dBc。位数越高，截断误差越小，SFDR越高。

SFDR 与截断位宽的理论关系为：

$$\text{SFDR} \approx 6.02 \cdot M \quad (\text{dBc})$$SFDR≈6.02⋅M(dBc)

其中$M$M 为查表位数。

4.3 分辨率下降

相位截断也会带来频率分辨率降低的影响，但主要影响精度不大，一般优先考虑SFDR的优化。

五、相位截断误差建模与分析

5.1 截断误差模型

设实际相位为：

$$\phi = \frac{2\pi k}{2^N}$$ϕ=2N2πk

实际查表使用高M位，即：

$$\phi_{\text{LUT}} = \frac{2\pi \lfloor k / 2^{N-M} \rfloor}{2^M}$$ϕLUT=2M2π⌊k/2N−M⌋

误差为：

$$\varepsilon = \phi - \phi_{\text{LUT}}$$ε=ϕ−ϕLUT

该误差周期性变化，且具有一定幅度和频率，会形成周期性失真。

5.2 谐波分析

由于误差是周期性的，截断误差可用傅里叶级数展开，带来谐波分量。其主要谐波的频率与输入频率、相位截断位数成比例关系。

六、相位截断的优化策略

6.1 增加查表位数

最直接的方式是增加用于查表的相位位数（M）。虽然存储资源需求上升，但现代FPGA/ASIC已能支持12~14位查表精度。

6.2 相位抖动法（Phase Dithering）

引入微小随机扰动（dither）到截断位之前，打散杂散的频率能量，降低尖峰干扰，提升SFDR。

优点：

• 减小显性杂散

• 可在硬件上实现

缺点：

• 引入宽带噪声

6.3 插值法（Interpolation）

不使用固定查表点，而是对查表值做线性或多项式插值，提高精度。例如：

• 线性插值（两点之间线性逼近）

• 三次样条插值（高精度）

适用于高性能DDS系统，但电路复杂度相应提高。

6.4 波形压缩与分段法

将查找表进行压缩，如利用正弦波对称性，只存储1/4周期并进行镜像重构；或者将正弦波分段建模，节省存储同时保持精度。

七、工程实用建议

开发者应根据系统要求、可用资源、功耗预算选择合适的相位截断优化方式。

八、结语

相位截断作为直接数字合成器中的关键步骤，对系统的输出质量具有直接影响。虽然它在提升效率、节省资源方面具有不可替代的优势，但也带来了杂散和失真等挑战。通过合理选择查表位数、应用抖动或插值等优化手段，可以有效控制截断误差，提升DDS系统的性能。随着芯片资源和计算能力的提升，未来DDS设计将进一步朝着高精度、低噪声方向发展，继续在通信、雷达、测试测量等领域发挥关键作用。